next up previous
Next: Порядок выполнения работы Up: Краткая теория Previous: К-поправка

Фотометрическое расстояние

Для удаленных галактик в расширяющейся вселенной понятие расстояния теряет однозначность. В случае Евклидового пространства, каким бы способом мы ни измеряли расстояние до объекта, получаем одно и то же численное значение. Например, зная собственный размер объекта D и видимый угловой размер $\Delta\Theta$ находим угловое расстояние

\begin{displaymath}
d_A = \frac D{\Delta\Theta}
\end{displaymath}

или, зная болометрическую светимость L и измеряя принимаемый поток F, имеем фотометрическое расстояние

\begin{displaymath}
d_L = \sqrt{\frac L{4\pi  F}}
\end{displaymath}

причем $d_L = d_A$ - просто расстояние.

В расширяющейся вселенной интервал между событиями

\begin{displaymath}
dS^2 = c^2dt^2 - a^2(t) dl^2,
\end{displaymath} (2)

где
\begin{displaymath}
dl^2 = \frac{dr^2}{1-kr^2} + r^2d\Theta^2 + r^2\sin^2 \Theta 
d\phi^2
\end{displaymath} (3)

безразмерный элемент длины для всех возможных геометрий. Здесь $k=0$ - плоское Евклидово пространство, $k=+1$ - пространство постоянной положительной кривизны (сфера), $k=-1$ - пространство постяной отрицательной кривизны. $a(t)$ - изменяющийся (растущий) во времени масштабный фактор с размерностью длины. Например, если $t$ - время с момента начала расширения, то $a(t)
\sim t^{2/3}$ - в пространственно-плоской ($k=0$) космологической модели без космологической постоянной на стадии доминантости материи.

Фундаментальная связь между красным смещением $z$ удаленного объекта и масштабным фактором

\begin{displaymath}
1+z = \frac{a(t_0)}{a(t)}
\end{displaymath} (4)

где $t_0$ - момент приема сигнала, $t$ - момент испускания сигнала, $t<t_0$.

По определению, физическое (метрическое) расстояние до объекта

\begin{displaymath}
d_M = a(t_0)  r
\end{displaymath} (5)

есть расстояние до объекта в момент приема сигнала. Фотометрическое расстояние можно вычислить исходя из физических соображений. Сначала найдем зависимость принимаемого потока $F(\frac{erg}{cm^2 \cdot c})$ от красного смещения $z$. Энергия каждого принимаемого фотона уменьшается в $(1+z)$ раз из-за эффекта Доплера, а время между приемом детектором двух фотонов увеличивается в $(1+z)$ раз по сравнению со временем в точке их испускания. То есть

\begin{displaymath}
F(z) \propto \frac 1{(1+z)^2}
\end{displaymath}

Так как в сферически-симметричном случае излучаемая энергия распространяется на сферу с радиусом $4\pi (a(t_0) r)^2$, получаем
\begin{displaymath}
F \equiv \frac L{4\pi d_L^2} = \frac L{4\pi a(t_0)^2r^2(1+z)^2},
\end{displaymath} (6)

откуда
\begin{displaymath}
d_L = a(t_0)  r  (1+z)
\end{displaymath} (7)

В частном случае пространственно-плоской вселенной ($k=0$), после подстановки $a(t)
\sim t^{2/3}$ в (2) и интегрирования уравнения $dS = 0$ (распространение света), получаем

\begin{displaymath}
d_L = \frac {2 c}{H_0} \left[(1+z) - \sqrt{1+z}\right]
\end{displaymath} (8)

где

\begin{displaymath}
H_0 = \frac {da/dt}{a(t)} \bigg\vert _{t_0}
\end{displaymath}

- значение постоянной Хаббла в момент наблюдений.

При малых $z\ll 1$ имеем

\begin{displaymath}
d_L \cong \frac {2 c}{H_0} \left[(1+z) - \left(1+\frac 12
z\right)\right] \simeq \frac {c z}{H_0} = d_A
\end{displaymath} (9)

В более сложной космологической модели с отличной от нуля космологической постоянной $\Lambda$ $d_L$ для данного $z$ возрастает.


next up previous
Next: Порядок выполнения работы Up: Краткая теория Previous: К-поправка
Dmitriy Bizyaev 2001-09-07